関数 $y = (x-1)(x^2+1)(2x-1)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-1)(x^2+1)(2x-1)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使う。$y = uvw$のとき、$y' = u'vw + uv'w + uvw'$となる。

ここで、$u = x-1$, $v = x^2+1$, $w = 2x-1$とおく。

まず、それぞれの微分を計算する。

$u' = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x$

$w' = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2$

次に、積の微分公式に代入する。

$y' = u'vw + uv'w + uvw'$

$y' = (1)(x^2+1)(2x-1) + (x-1)(2x)(2x-1) + (x-1)(x^2+1)(2)$

$y' = (x^2+1)(2x-1) + 2x(x-1)(2x-1) + 2(x-1)(x^2+1)$

$y' = (2x^3-x^2+2x-1) + 2x(2x^2-3x+1) + 2(x^3-x^2+x-1)$

$y' = (2x^3-x^2+2x-1) + (4x^3-6x^2+2x) + (2x^3-2x^2+2x-2)$

$y' = (2x^3 + 4x^3 + 2x^3) + (-x^2 -6x^2 -2x^2) + (2x + 2x + 2x) + (-1-2)$

$y' = 8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$

3. 最終的な答え

$y' = 8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$