微分係数の定義に従い、関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の $x=1$ における微分係数の値を求めます。

1. 問題の内容

微分係数の定義に従い、関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の $x=1$ における微分係数の値を求めます。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ であり、$a = 1$ なので、$f(1) = \frac{1}{1^2} = 1$ です。また、$f(1+h) = \frac{1}{(1+h)^2}$ となります。

したがって、微分係数は次のようになります。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(1+h)^2} - 1}{h}$

分子を通分すると、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - (1+h)^2}{h(1+h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - (1+2h+h^2)}{h(1+h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h-h^2}{h(1+h)^2}$

$h$ で約分すると、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-2-h}{(1+h)^2}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(1) = \frac{-2-0}{(1+0)^2} = \frac{-2}{1} = -2$

3. 最終的な答え

-2