関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を簡単にします。

$f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}$

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1})$

$f'(x) = 0 - 2(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}) + (-1)x^{-2}$

$f'(x) = x^{-\frac{3}{2}} - x^{-2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

$f'(x) = \frac{x - \sqrt{x}}{x^3} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{x^3}$

$f'(x) = \frac{x-\sqrt{x}}{x^3}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{x^3}=\frac{\sqrt{x}-1}{x^{5/2}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{x-\sqrt{x}}{x^3}$

または

$f'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x^{5/2}}$