与えられた画像の微分係数と導関数の計算における空欄（ウ、エ、オ、カ）を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた画像の微分係数と導関数の計算における空欄（ウ、エ、オ、カ）を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を順に見ていきます。

最初の式は、

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$

を計算する過程です。

三角関数の加法定理を用いて、$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} (\sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h})$

したがって、空欄ウには $\cos h - 1$ が入ります。

次に、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$ を計算するために、分子を有理化します。

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{-\sin h}{\cos h + 1}$

したがって、空欄エには $-\sin^2 h$ が入ります。

さらに、$\lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{\cos h + 1}$ を計算します。

これは$\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{h}{\cos h+1}$で変形できるので、

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{- \sin h}{\cos h + 1} = 1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0$

したがって、空欄オには$-\sin h$が入ります。

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であることが示されています。

したがって、空欄カには $1$ が入ります。

3. 最終的な答え

ウ: $\cos h - 1$

エ: $-\sin^2 h$

オ: $-\sin h$

カ: $1$