関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を導関数の定義に従って微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を導関数の定義に従って微分せよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

である。これに $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を代入する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$

通分して計算する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}}$

分子の有理化を行う。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+h}}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}$

$h$ で約分する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}$

$h \to 0$ の極限を取る。

$f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \frac{-1}{x (2\sqrt{x})}$

$f'(x) = \frac{-1}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = -\frac{1}{2x^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$