男子と女子が与えられた人数いるとき、女子が隣り合わないように一列に並べる並び方の総数を求める問題です。 (1) 男子が5人、女子が2人の場合 (2) 男子が5人、女子が3人の場合

離散数学順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/28

1. 問題の内容

男子と女子が与えられた人数いるとき、女子が隣り合わないように一列に並べる並び方の総数を求める問題です。
(1) 男子が5人、女子が2人の場合
(2) 男子が5人、女子が3人の場合

2. 解き方の手順

(1) 男子が5人、女子が2人の場合
まず、男子5人を一列に並べます。この並べ方は 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 通りあります。
次に、女子が隣り合わないように並べるには、男子の間に女子を入れるか、両端に女子を入れる必要があります。男子5人が並んでいるとき、その間と両端を合わせた6箇所に女子を入れることができます。女子は2人なので、6箇所から2箇所を選ぶ組み合わせを考えます。これは (62)=6!2!(62)!=6×52×1=15\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 通りです。
最後に、選んだ2箇所に女子を並べる順序を考えます。女子は2人なので、並べ方は 2!=2×1=22! = 2 \times 1 = 2 通りです。
したがって、全体の並び方は 5!×(62)×2!=120×15×2=36005! \times \binom{6}{2} \times 2! = 120 \times 15 \times 2 = 3600 通りとなります。
(2) 男子が5人、女子が3人の場合
まず、男子5人を一列に並べます。この並べ方は 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 通りあります。
次に、女子が隣り合わないように並べるには、男子の間に女子を入れるか、両端に女子を入れる必要があります。男子5人が並んでいるとき、その間と両端を合わせた6箇所に女子を入れることができます。女子は3人なので、6箇所から3箇所を選ぶ組み合わせを考えます。これは (63)=6!3!(63)!=6×5×43×2×1=20\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 通りです。
最後に、選んだ3箇所に女子を並べる順序を考えます。女子は3人なので、並べ方は 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6 通りです。
したがって、全体の並び方は 5!×(63)×3!=120×20×6=144005! \times \binom{6}{3} \times 3! = 120 \times 20 \times 6 = 14400 通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 男子5人、女子2人の場合:3600通り
(2) 男子5人、女子3人の場合:14400通り

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