りんご、かき、なしの3種類の果物を使って7個入りの果物かごを作る。同じ種類の果物は区別しない。 (1) 1個も入らない種類があってもよいとき、異なる果物かごは何通りできるか。 (2) 3種類の果物を最低1個ずつ入れるとき、異なる果物かごは何通りできるか。

1. 問題の内容

りんご、かき、なしの3種類の果物を使って7個入りの果物かごを作る。同じ種類の果物は区別しない。

(1) 1個も入らない種類があってもよいとき、異なる果物かごは何通りできるか。

(2) 3種類の果物を最低1個ずつ入れるとき、異なる果物かごは何通りできるか。

2. 解き方の手順

(1) 1個も入らない種類があってもよい場合

これは、3種類の果物から重複を許して7個選ぶ組み合わせの問題である。

りんご、かき、なしの個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、

$x + y + z = 7$

となる。ここで、$x, y, z$ は0以上の整数である。

これは、異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個選ぶ組み合わせの問題（重複組み合わせ）であり、その場合の数は ${}_{n+r-1}C_r$ で求められる。

この問題では、$n = 3, r = 7$ なので、

${}_{3+7-1}C_7 = {}_{9}C_7$

${}_{9}C_7 = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

(2) 3種類の果物を最低1個ずつ入れる場合

まず、りんご、かき、なしをそれぞれ1個ずつ入れる。すると、残り4個の果物を3種類から重複を許して選ぶことになる。

りんご、かき、なしの個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、

$x + y + z = 4$

となる。ここで、$x, y, z$ は0以上の整数である。

これは、異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個選ぶ組み合わせの問題（重複組み合わせ）であり、その場合の数は ${}_{n+r-1}C_r$ で求められる。

この問題では、$n = 3, r = 4$ なので、

${}_{3+4-1}C_4 = {}_{6}C_4$

${}_{6}C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

3. 最終的な答え

(1) 36通り

(2) 15通り