与えられた論理式 $Y = (\overline{A} + C) \cdot (\overline{B} + C)$ をNANDゲートのみを用いて実現する方法を求める。

1. 問題の内容

与えられた論理式 $Y = (\overline{A} + C) \cdot (\overline{B} + C)$ をNANDゲートのみを用いて実現する方法を求める。

2. 解き方の手順

まず、ド・モルガンの法則を用いて、論理式をNANDゲートで表現しやすい形に変形する。ド・モルガンの法則は以下の通り。

$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$

$\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$

与えられた式は積の形なので、全体を二重否定する。

$Y = \overline{\overline{(\overline{A} + C) \cdot (\overline{B} + C)}}$

ド・モルガンの法則を適用する。

$Y = \overline{\overline{(\overline{A} + C)} + \overline{(\overline{B} + C)}}$

さらに、ド・モルガンの法則を適用する。

$Y = \overline{(\overline{\overline{A}} \cdot \overline{C}) + (\overline{\overline{B}} \cdot \overline{C})}$

$Y = \overline{(A \cdot \overline{C}) + (B \cdot \overline{C})}$

もう一度、ド・モルガンの法則を適用する。

$Y = \overline{\overline{(A \cdot \overline{C})} \cdot \overline{(B \cdot \overline{C})}}$

ここで、NANDゲートの出力は$\overline{X \cdot Y}$で表されることを利用する。

まず、$\overline{C}$を作るには、CをNANDゲートに入力し、両方の入力をCに接続すればよい。すると、出力は$\overline{C \cdot C} = \overline{C}$となる。

次に、$A \cdot \overline{C}$を作るには、$A$と$\overline{C}$をNANDゲートに入力し、その出力を否定すればよい。つまり、NANDゲートの出力を再度NANDゲートに入力し、両方の入力を接続する。すると出力は、$\overline{\overline{A \cdot \overline{C}}} = A \cdot \overline{C}$となる。しかし、今回はNANDゲートのみを使用するので、この出力をさらに否定する必要がある。

同様に、$B \cdot \overline{C}$もNANDゲートを使って$\overline{B \cdot \overline{C}}$を作成する。

最後に、$\overline{(A \cdot \overline{C})} \cdot \overline{(B \cdot \overline{C})}$をNANDゲートに入力し、全体を否定して$Y$を得る。

3. 最終的な答え

$Y = \overline{\overline{(A \cdot \overline{C})} \cdot \overline{(B \cdot \overline{C})}}$

この式は、NANDゲートのみで実現できる。

具体的には、

1. $\overline{C}$をNANDゲートを使って作成 (Cを両方の入力に接続)

2. $\overline{A \cdot \overline{C}}$をNANDゲートを使って作成 (Aと$\overline{C}$を入力)

3. $\overline{B \cdot \overline{C}}$をNANDゲートを使って作成 (Bと$\overline{C}$を入力)

4. 最後に$\overline{\overline{(A \cdot \overline{C})} \cdot \overline{(B \cdot \overline{C})}}$をNANDゲートを使って作成 ($\overline{A \cdot \overline{C}}$と$\overline{B \cdot \overline{C}}$を入力)