$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

それぞれの数を同じ指数で表し、比較しやすくする。

まず、$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$、$\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}}$、$\sqrt[4]{27} = 27^{\frac{1}{4}}$ である。

ここで、$9 = 3^2$、$27 = 3^3$ であるから、

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$、$\sqrt[3]{9} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$、$\sqrt[4]{27} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$ となる。

次に、指数 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ を通分する。

分母の最小公倍数は $12$ なので、

$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$、$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$、$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ となる。

したがって、

$\sqrt{3} = 3^{\frac{6}{12}}$、$\sqrt[3]{9} = 3^{\frac{8}{12}}$、$\sqrt[4]{27} = 3^{\frac{9}{12}}$ である。

すべての数が、$3$ の指数関数として表された。

指数関数の底が $3 > 1$ なので、指数が大きいほど値が大きい。

指数の大小関係は $\frac{6}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12}$ であるから、

$\sqrt{3} < \sqrt[3]{9} < \sqrt[4]{27}$ となる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}, \sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{27}$