財布の中に100円玉が3枚、50円玉が5枚、10円玉が1枚入っている。345円の品物を買うとき、お釣りがないようなお金の支払い方は全部で何通りあるか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよいものとする。 (1) 50円玉を1枚使って支払うとき、全部で何通りありますか。 (2) 50円玉を2枚使って支払うとき、全部で何通りありますか。 (3) 50円玉を5枚使って支払うとき、全部で何通りありますか。 (4) お金の支払い方は全部で何通りありますか。

1. 問題の内容

財布の中に100円玉が3枚、50円玉が5枚、10円玉が1枚入っている。345円の品物を買うとき、お釣りがないようなお金の支払い方は全部で何通りあるか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよいものとする。

(1) 50円玉を1枚使って支払うとき、全部で何通りありますか。

(2) 50円玉を2枚使って支払うとき、全部で何通りありますか。

(3) 50円玉を5枚使って支払うとき、全部で何通りありますか。

(4) お金の支払い方は全部で何通りありますか。

2. 解き方の手順

(1) 50円玉を1枚使う場合、残りの $345 - 50 = 295$ 円を100円玉、10円玉で支払う必要があります。

100円玉は最大3枚使えるので、100円玉を3枚使うと、残りは $295 - 300 = -5$ 円となり不可能。

100円玉を2枚使うと、残りは $295 - 200 = 95$ 円。10円玉は1枚しかないので不可能。

100円玉を1枚使うと、残りは $295 - 100 = 195$ 円。10円玉は1枚しかないので不可能。

100円玉を0枚使うと、残りは $295$ 円。10円玉は1枚しかないので不可能。

よって、50円玉を1枚使って345円を支払うことはできないので、0通り。

(2) 50円玉を2枚使う場合、残りの $345 - 100 = 245$ 円を100円玉、10円玉で支払う必要があります。

100円玉を最大3枚使えるので、100円玉を3枚使うと、残りは $245 - 300 = -55$ 円となり不可能。

100円玉を2枚使うと、残りは $245 - 200 = 45$ 円。10円玉は1枚しかないので不可能。

100円玉を1枚使うと、残りは $245 - 100 = 145$ 円。10円玉は1枚しかないので不可能。

100円玉を0枚使うと、残りは $245$ 円。10円玉は1枚しかないので不可能。

よって、50円玉を2枚使って345円を支払うことはできないので、0通り。

(3) 50円玉を5枚使う場合、残りの $345 - 250 = 95$ 円を100円玉、10円玉で支払う必要があります。

100円玉は最大3枚使えるので、100円玉を1枚使うと、残りは $95 - 100 = -5$ 円となり不可能。

100円玉を0枚使うと、残りは $95$ 円。10円玉は1枚しかないので不可能。

よって、50円玉を5枚使って345円を支払うことはできないので、0通り。

(4) お金の支払い方

まず、10円玉は1枚しかないので、$345$ 円のうち10円玉を使うか使わないかで場合分けします。

- 10円玉を使わない場合：$345$ 円を100円玉と50円玉で支払う

100円玉の枚数を $x$ 、50円玉の枚数を $y$ とすると、$100x + 50y = 345$。両辺を5で割ると、$20x + 10y = 69$。両辺を10で割ると、$2x + y = 6.9$。$x,y$は整数なので、この場合は解なし。

- 10円玉を使う場合：$345 - 10 = 335$ 円を100円玉と50円玉で支払う

100円玉の枚数を $x$ 、50円玉の枚数を $y$ とすると、$100x + 50y = 335$。両辺を5で割ると、$20x + 10y = 67$。両辺を10で割ると、$2x + y = 6.7$。$x,y$は整数なので、この場合は解なし。

しかし、問題文には「使わない種類の硬貨があってもよいものとする」とあるので、すべての硬貨を使う必要はない。

10円玉を使わないとき：$100x + 50y = 345$ となる組み合わせを考える。ただし、$0 \leq x \leq 3$、$0 \leq y \leq 5$。

$x=0$ のとき $50y=345$ より、$y=6.9$ となり不適。

$x=1$ のとき $50y=245$ より、$y=4.9$ となり不適。

$x=2$ のとき $50y=145$ より、$y=2.9$ となり不適。

$x=3$ のとき $50y=45$ より、$y=0.9$ となり不適。

10円玉を使うとき：$100x + 50y + 10 = 345$ より $100x + 50y = 335$ となる組み合わせを考える。ただし、$0 \leq x \leq 3$、$0 \leq y \leq 5$。

$x=0$ のとき $50y=335$ より、$y=6.7$ となり不適。

$x=1$ のとき $50y=235$ より、$y=4.7$ となり不適。

$x=2$ のとき $50y=135$ より、$y=2.7$ となり不適。

$x=3$ のとき $50y=35$ より、$y=0.7$ となり不適。

上記の解法では、使えないことが示された。

345円を支払う組み合わせを考えると、

3x100 + 0x50 + 1x10 + +0 -> 310円

2x100 + 2x50 + 1x10+ 5 -> 310円

10円は1枚なので345円は作れない

しかしながら問題文をよく読むと「おつりがないようなお金の支払い方は全部で何通りか」とあるので、そもそもお釣りをもらえないような組み合わせは存在しない。よって答えは0通りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 0通り

(2) 0通り

(3) 0通り

(4) 0通り