関数 $e^{\sin(2x+1)}$ の導関数を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題の中から、(4) $e^{\sin(2x+1)}$ の導関数を求める問題について解答します。

1. 問題の内容

関数 $e^{\sin(2x+1)}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は合成関数の微分を利用します。

$y = e^{\sin(2x+1)}$とおきます。

まず、$u = \sin(2x+1)$ と置くと、$y = e^u$ となります。

さらに、$v = 2x+1$ と置くと、$u = \sin(v)$ となります。

従って、$y = e^u$, $u = \sin(v)$, $v = 2x+1$ です。

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

となります。

それぞれの微分を計算します。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dv} = \cos(v)$

$\frac{dv}{dx} = 2$

従って、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot \cos(v) \cdot 2 = e^{\sin(2x+1)} \cdot \cos(2x+1) \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = 2\cos(2x+1)e^{\sin(2x+1)}$

3. 最終的な答え

$2\cos(2x+1)e^{\sin(2x+1)}$