曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ を微分して、導関数を求めます。導関数は接線の傾きを表します。

$y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 2x$

次に、点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求めます。$x = 1$ を導関数に代入します。

$y'(1) = -3(1)^2 + 2(1) = -3 + 2 = -1$

したがって、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは $-1$ です。

次に、接線の方程式を求めます。点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

点 $(1, 1)$ を通り、傾きが $-1$ の直線の方程式は、次のようになります。

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

$y = -x + 2$