関数 $f(x) = x^2 + 2x + 3$ において、$x$ の値が 1 から 4 まで変化するときの平均変化率を求めよ。

解析学平均変化率関数二次関数
2025/7/31

1. 問題の内容

関数 f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 において、xx の値が 1 から 4 まで変化するときの平均変化率を求めよ。

2. 解き方の手順

平均変化率は、ある区間における関数の変化量を、その区間の変数の変化量で割ったものです。具体的には、区間 [a,b][a, b] における関数 f(x)f(x) の平均変化率は、以下の式で表されます。
f(b)f(a)ba\frac{f(b) - f(a)}{b - a}
この問題では、a=1a = 1b=4b = 4f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 です。
まず、f(1)f(1)f(4)f(4) を計算します。
f(1)=12+2(1)+3=1+2+3=6f(1) = 1^2 + 2(1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6
f(4)=42+2(4)+3=16+8+3=27f(4) = 4^2 + 2(4) + 3 = 16 + 8 + 3 = 27
次に、平均変化率を計算します。
f(4)f(1)41=27641=213=7\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{27 - 6}{4 - 1} = \frac{21}{3} = 7

3. 最終的な答え

7

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