関数 $f(x) = -2x^2 + 6x - 3$ の、区間 $-1 \le x \le 3$ における値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + 6x - 3$ の、区間 $-1 \le x \le 3$ における値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の頂点を求めます。

$f(x) = -2x^2 + 6x - 3$ を平方完成します。

$f(x) = -2(x^2 - 3x) - 3$

$f(x) = -2(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 3$

$f(x) = -2((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 3$

$f(x) = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 3$

$f(x) = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$

したがって、頂点の座標は$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$です。

次に、与えられた区間の端点での関数値を計算します。

$f(-1) = -2(-1)^2 + 6(-1) - 3 = -2 - 6 - 3 = -11$

$f(3) = -2(3)^2 + 6(3) - 3 = -18 + 18 - 3 = -3$

頂点のx座標 $\frac{3}{2}$ は区間 $[-1, 3]$ に含まれているので、頂点での値 $f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$ も考慮する必要があります。

$f(x)$ は上に凸な二次関数なので、区間内で最大値は頂点のy座標 $\frac{3}{2}$ となります。

最小値は $f(-1) = -11$ と $f(3) = -3$ のうち小さい方である $f(-1) = -11$ となります。

したがって、関数 $f(x)$ の値域は $-11 \le f(x) \le \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$-11 \le f(x) \le \frac{3}{2}$