問題は2種類あります。 1つ目は、与えられた2点を通る直線の方程式をベクトルで表す問題です。 2つ目は、与えられた直線の方程式をベクトルを使って書き直す問題です。

1. 問題の内容

問題は2種類あります。

1つ目は、与えられた2点を通る直線の方程式をベクトルで表す問題です。

2つ目は、与えられた直線の方程式をベクトルを使って書き直す問題です。

2. 解き方の手順

**最初のタイプの問題（2点を通る直線の方程式のベクトル表示）**

一般に、点 $A(\vec{a})$ と点 $B(\vec{b})$ を通る直線上の点 $P(\vec{p})$ は、次のように表すことができます。

$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ （$t$ は実数）

1. (1, 3), (5, 6) の場合:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\vec{p} = (1-t)\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4t \\ 3 + 3t \end{pmatrix}$

2. (-2, -6), (3, 6) の場合:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\vec{p} = (1-t)\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 5t \\ -6 + 12t \end{pmatrix}$

**2番目のタイプの問題（直線の方程式のベクトルによる書き直し）**

直線の方程式 $y = ax + b$ は、ベクトル表示では次のようになります。

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$ （$t$ は実数）

1. $y = 2x + 1$ の場合:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. $y = -3x + 4$ の場合:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

3. $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}$ の場合:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

4. $y = \frac{1}{5}x - 2$ の場合:

$\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

1. (1, 3), (5, 6): $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 + 4t \\ 3 + 3t \end{pmatrix}$

2. (-2, -6), (3, 6): $\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 + 5t \\ -6 + 12t \end{pmatrix}$

3. $y = 2x + 1$: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

4. $y = -3x + 4$: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

5. $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}$: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

6. $y = \frac{1}{5}x - 2$: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{pmatrix}$