与えられた点を通る直線をベクトルを用いて表現する問題です。具体的には、２点を通る直線のベクトル方程式を求める問題が2問と、直線が通る点と方向ベクトルが与えられたときにベクトル方程式を求める問題が4問あります。

1. 問題の内容

与えられた点を通る直線をベクトルを用いて表現する問題です。具体的には、２点を通る直線のベクトル方程式を求める問題が2問と、直線が通る点と方向ベクトルが与えられたときにベクトル方程式を求める問題が4問あります。

2. 解き方の手順

直線のベクトル方程式は、直線上の任意の点 $\vec{p}$ が、ある点 $\vec{a}$ と方向ベクトル $\vec{d}$ を用いて、$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$ （$t$ は任意の実数）と表せることを利用します。

(最初の2問：2点を通る直線のベクトル方程式)

* 2点 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を通る直線の方向ベクトルは $\vec{b} - \vec{a}$ で与えられます。

* 直線上の点 $\vec{p}$ は、$\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ と表すことができます。ここで、$\vec{a}$ は直線上の任意の点(つまり、問題で与えられた２点のいずれか)です。

(最後の4問：点と方向ベクトルが与えられた直線のベクトル方程式)

* 直線が通る点 $\vec{a}$ と方向ベクトル $\vec{d}$ が与えられているので、直線上の点 $\vec{p}$ は、$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$ と表すことができます。

以下に各問題の解答を示します。

1. (1,3) から (5,6) に向かうベクトルは (4,3) なので、原点 O から直線上の点 P に向かうベクトルは

$\vec{OP} = (1,3) + t(4,3)$ (ただし $t$ は任意の実数)

2. (-2,-6) から (3,6) に向かうベクトルは (5,12) なので、原点 O から直線上の点 P に向かうベクトルは

$\vec{OP} = (-2,-6) + t(5,12)$ (ただし $t$ は任意の実数)

3. この直線は (0,1) を通り、向きが (1,2) なので、原点 O から直線上の点 P に向かうベクトルは

$\vec{OP} = (0,1) + t(1,2)$ (ただし $t$ は任意の実数)

4. この直線は (0,4) を通り、向きが (1,-3) なので、原点 O から直線上の点 P に向かうベクトルは

$\vec{OP} = (0,4) + t(1,-3)$ (ただし $t$ は任意の実数)

5. この直線は (0, 1/2) を通り、向きが (1, -2/3) なので、原点 O から直線上の点 P に向かうベクトルは

$\vec{OP} = (0, 1/2) + t(1, -2/3)$ (ただし $t$ は任意の実数)

6. この直線は (0,-2) を通り、向きが (1, 1/5) なので、原点 O から直線上の点 P に向かうベクトルは

$\vec{OP} = (0,-2) + t(1, 1/5)$ (ただし $t$ は任意の実数)

7. 最終的な答え

上記、解き方の手順に各問題の答えを記載しました。