三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACをBQ:QC = 2:3、AR:RC = 2:1の比に内分するとき、線分BO:ORの比を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACをBQ:QC = 2:3、AR:RC = 2:1の比に内分するとき、線分BO:ORの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

(1) チェバの定理を用いる

三角形ABCにおいて、線分AQ, BR, CPが一点Oで交わるとき、以下の関係が成り立ちます。

$\frac{AR}{RC} \times \frac{CQ}{QB} \times \frac{BP}{PA} = 1$

この問題では、AR:RC = 2:1、BQ:QC = 2:3なので、CQ:QB = 3:2です。

これをチェバの定理に代入すると、

$\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{BP}{PA} = 1$

$3 \times \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = \frac{1}{3}$

したがって、AP:PB = 3:1です。

(2) メネラウスの定理を用いる

三角形ACQと直線BRに着目して、メネラウスの定理を適用します。

$\frac{AR}{RC} \times \frac{CB}{BQ} \times \frac{QO}{OA} = 1$

AR:RC = 2:1、CB:BQ = (2+3):2 = 5:2なので、

$\frac{2}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{OR}{BO+OR} = 1$

ただし、この問題ではBO:ORを求めたいので、ORではなくBOを使って表す必要があります。

ここで、$\frac{QO}{OA}$ は $\frac{OR}{BO}$ に置き換えて計算を進めます。

$\frac{2}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{OR}{BO+OR} = 1$

三角形BCRと直線AQに着目してメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{BQ}{QC} \times \frac{CA}{AR} \times \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \times \frac{RO}{OB} = 1$

$1 \times \frac{RO}{OB} = 1$

したがって、$\frac{RO}{OB} = 1$なので、$BO = OR$となり、BO:OR = 1:1となります。

しかし、これは誤りです。

三角形BCRと直線AOに着目してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BQ}{QC} \times \frac{CA}{AR} \times \frac{RO}{OB}=1$

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \times \frac{RO}{OB}=1$

$\frac{2}{3} \times \frac{2+1}{2} \times \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \times \frac{RO}{OB}=1$

$\frac{RO}{OB}=1$

$RO = OB$

よって、$BO:OR = 1:1$。これも違う。

三角形ACRと直線BOQを用いる

$\frac{CB}{BQ} \times \frac{QO}{OA} \times \frac{AP}{PC} = 1$

$CB = 5$, $BQ = 2$, $AP = 3$, $PC = 4$

$\frac{AR}{RC} \times \frac{CQ}{QB} \times \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = \frac{1}{3}$

$\frac{CQ}{QB} \times \frac{BO}{OR} \times \frac{RA}{AC} = 1$

$\frac{3}{2} \times \frac{BO}{OR} \times \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BO}{OR} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

BO:OR = 5:3