2つの放物線 $y = x^2$ と $y = -(x-3)^2 + 4$ の共通接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = x^2$ と $y = -(x-3)^2 + 4$ の共通接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y=x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線を考える。

接線の傾きは、$y'=2x$ より $2t$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - t^2 = 2t(x-t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2$

$y = 2tx - t^2$

(2) この接線が、もう一つの放物線 $y = -(x-3)^2 + 4$ にも接すると仮定する。

接線の方程式を $y = 2tx - t^2$ として、放物線の方程式に代入する。

$2tx - t^2 = -(x-3)^2 + 4$

$2tx - t^2 = -(x^2 - 6x + 9) + 4$

$2tx - t^2 = -x^2 + 6x - 9 + 4$

$2tx - t^2 = -x^2 + 6x - 5$

$x^2 + (2t-6)x - t^2 + 5 = 0$

(3) この2次方程式が重解を持つ条件を求める。

判別式 $D = 0$ であればよい。

$D = (2t-6)^2 - 4(1)(-t^2+5) = 0$

$4t^2 - 24t + 36 + 4t^2 - 20 = 0$

$8t^2 - 24t + 16 = 0$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

$(t-1)(t-2) = 0$

$t=1$ または $t=2$

(4) $t=1$ のとき、接線の方程式は $y = 2(1)x - (1)^2 = 2x - 1$。

$t=2$ のとき、接線の方程式は $y = 2(2)x - (2)^2 = 4x - 4$。

(5) よって、共通接線の方程式は $y = 2x - 1$ と $y = 4x - 4$ である。

3. 最終的な答え

$y = 2x - 1$

$y = 4x - 4$