$\triangle ABC$ において、$AB=5$, $AC=3$, $\angle BAC=120^\circ$ である。この三角形の外接円を O とする。円 O の弧 BC 上に点 D があるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 辺 BC の長さを求めよ。また、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。 (2) 四角形 ABDC の面積 S の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=5$, $AC=3$, $\angle BAC=120^\circ$ である。この三角形の外接円を O とする。円 O の弧 BC 上に点 D があるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 辺 BC の長さを求めよ。また、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

(2) 四角形 ABDC の面積 S の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いて BC の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{120^\circ}$

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 25 + 9 + 15 = 49$

$BC = 7$

次に、$\triangle ABC$ の面積を求める。

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin{120^\circ}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(2)

四角形 ABDC の面積は $S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ABDC}$ である。

$S_{\triangle ABC}$ は固定なので、$S_{\triangle ABDC}$ が最大になるときに S が最大になる。

$S_{\triangle ABDC}$ が最大になるのは、$AD$ が円 O の直径になるときである。

このとき、$\angle BDC = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

四角形 ABDC の面積 S は

$S = S_{\triangle ABDC} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

$\angle BAC + \angle BDC = 180^\circ$ であるので、四角形 ABDC は円に内接する。

$\angle BDC = 180^\circ - \angle BAC = 60^\circ$

ここで、$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$ であり、S を最大にするには D が弧 BC の中点にあるときである。

$\angle BAC=120^\circ$ なので、$\angle BDC = 60^\circ$ となる。

この時、$\triangle ABD$ の面積は、$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD}$

$\triangle ACD$ の面積は、$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\angle CAD}$

四角形 ABDC の面積 S は、$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle BDC}$ であり、$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$。

D が円弧 BC の中点にあるとき、$S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$ が最大となる。

$S_{\triangle ABC}$ は一定なので、$S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$ が最大となる D を求める。

$\angle BAD + \angle CAD = \angle BAC = 120^\circ$

D が BC の中点のとき、$BD=CD$ となる。

正弦定理より $\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$

$\frac{7}{\sin{120^\circ}} = 2R$

$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

外接円の半径は $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ADC}$

$S = S_{\triangle ABC} + \frac{1}{2}AB\cdot BD\sin{\angle ABD} + \frac{1}{2}AC\cdot CD\sin{\angle ACD}$

$\angle BDC=60^\circ$のとき、Dが弧BCの中点のとき最大になる

$\angle ABD=\angle ACD$となり、$\frac{1}{2}AB\cdot BD\sin{\angle ABD} + \frac{1}{2}AC\cdot CD\sin{\angle ACD} = \frac{1}{2}\sin{\angle ABD}(AB\cdot BD + AC\cdot CD)$ となる

このとき、$S = \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} (5+3+ 2*3*5*(\sqrt(3)/2) = \frac{1}{2}(5+3-15/2)$

$S_{\triangle ABC}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $BC=7$, $\triangle ABC$ の面積は $\frac{15\sqrt{3}}{4}$

(2) 四角形 ABDC の面積の最大値は $\frac{15\sqrt{3}}{4}+ \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{20\sqrt{3} + 10 \sqrt{3}}{4}$ で$\frac{23\sqrt{3}}{2}$