点Oを中心とする円があり、円外の点Pから円に2本の直線を引き、円との交点をそれぞれA, B, C, Dとする。AB = 8, AP = 10, CD = 3であり、線分BCは円の中心Oを通る。このとき、以下の問いに答える。 (1) 線分PCの長さを求めよ。 (2) 円Oの半径の長さを求めよ。 (3) 三角形OCAの面積を求めよ。 (4) 線分PCの中点Mと点Oを結ぶ線分と円Oとの交点をEとするとき、線分EMの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解説します。

1. 問題の内容

点Oを中心とする円があり、円外の点Pから円に2本の直線を引き、円との交点をそれぞれA, B, C, Dとする。AB = 8, AP = 10, CD = 3であり、線分BCは円の中心Oを通る。このとき、以下の問いに答える。

(1) 線分PCの長さを求めよ。

(2) 円Oの半径の長さを求めよ。

(3) 三角形OCAの面積を求めよ。

(4) 線分PCの中点Mと点Oを結ぶ線分と円Oとの交点をEとするとき、線分EMの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分PCの長さを求める

方べきの定理より、$PA \times PB = PC \times PD$が成り立つ。$PA = 10$、$AB = 8$なので、$PB = PA + AB = 10 + 8 = 18$。よって、$PA \times PB = 10 \times 18 = 180$。

また、$PD = PC + CD$であり、$CD = 3$なので、$PD = PC + 3$。

したがって、$PC \times (PC + 3) = 180$。

これを展開すると、$PC^2 + 3PC - 180 = 0$。

この二次方程式を解くと、$PC = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-180)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{-3 \pm 27}{2}$。

$PC$は長さなので正の値をとるから、$PC = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$。

(2) 円Oの半径を求める

BCは円Oの中心を通るので、BCは円の直径である。

方べきの定理より、$PA \times PB = PC \times PD$が成り立つ。$PA = 10$、$AB = 8$なので、$PB = PA + AB = 10 + 8 = 18$。よって、$PA \times PB = 10 \times 18 = 180$。

また、$PD = PC + CD$であり、$CD = 3$、$PC = 12$なので、$PD = 12 + 3 = 15$。

$PC \times PD = 12 \times 15 = 180$

$BC$ は直径なので円の中心をOとし、$r$ を半径とすると、$BC = 2r$。

$PC$ は、$PO - OC = PO - r = 12$ とも表せる。したがって、$PO = 12 + r$。

また、$BO = r$ なので、$PB = PO + OB = 12 + r + r = 12 + 2r = 18$。

したがって、$2r = 6$ より、$r = 3$。

(3) 三角形OCAの面積を求める

$OA = OC = r = 3$であり、$OA$と$OC$は半径である。三角形OCAは二等辺三角形である。

$BC$は円の中心を通るので、$∠BCA = 90^\circ$。

$∠OCA = ∠OCA$。

三角形OACの面積を求める。$\sin ∠COA$が必要。

$∠COA = ∠BOA$

三角形OCAの面積 = $1/2 \times OA \times OC \times \sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin(\angle AOC) = \frac{9}{2}\sin(\angle AOC)$

線分OCは線分BCの一部なので角度の情報は得られない。

また、三角形OCAの高さが分からないので面積を求めることは困難。

(4) 線分EMの長さを求める

$PC$の中点をMとすると、$PM = MC = PC/2 = 12/2 = 6$。

$OM = PO - PM = (r + 12) - 6 = 3 + 12 - 6 = 9$。

$OE = r = 3$。

$EM = OM - OE = 9 - 3 = 6$。

3. 最終的な答え

(1) 線分PCの長さ: 12

(2) 円Oの半径: 3

(3) 三角形OCAの面積: 不明

(4) 線分EMの長さ: 6