三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを2:1に内分し、点Rは辺ACを2:1に内分する。線分ARと線分BQの交点をOとする。このとき、BO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを2:1に内分し、点Rは辺ACを2:1に内分する。線分ARと線分BQの交点をOとする。このとき、BO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができます。

まず、チェバの定理を用いてAO:ORを求めます。チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

図から、$BQ:QC = 2:1$、$AR:RC = 2:1$です。このとき、CQ=1, CR=1, AR=2, BQ=2　となります。

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, AC上にあり、線分AQとBRが点Oで交わっている。このとき、チェバの定理より、線分COを引いたときにABとの交点をPとすると、

$\frac{BP}{PA} \cdot \frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{BP}{PA} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BP}{PA} = 1$

つまり、BP = PAとなり、PはABの中点です。

次に、メネラウスの定理を用いてBO:ORを求めます。三角形ARCと直線BQにおいてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{RA}{AC} = 1$

図から、$\frac{CB}{BQ} = \frac{3}{2}$, $\frac{RA}{AC} = \frac{2}{3}$です。

これを代入すると

$\frac{3}{2} \cdot \frac{BO}{OR} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{QO}{OR} = \frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OC}\cdot \frac{CA}{AR}=1$

$\frac{BO}{OR} = 2$

したがって、BO:OR = 3:1

3. 最終的な答え

3 : 1