三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 1:2, AR:RB = 2:1の比に内分するとき、線分BOと線分OQの長さの比BO:OQを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 1:2, AR:RB = 2:1の比に内分するとき、線分BOと線分OQの長さの比BO:OQを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理を利用して解くことができます。

三角形ACRと直線BQについてメネラウスの定理を用いると、以下の式が成り立ちます。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BO} \cdot \frac{OR}{RA} = 1$

問題文より、AQ:QC = 1:2, AR:RB = 2:1なので、AR:RA = -RA:AR = -AR:2AR+AR = -AR:3AR = 3

また、$\frac{AQ}{QC} = \frac{1}{2}$ です。

$\frac{CB}{BO} = \frac{CO + OB}{BO} = \frac{CO}{BO} + 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$

$\frac{RA}{AR} = -\frac{AR}{AR}$

三角形ABQと直線RCについてメネラウスの定理を適用します。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO+OC}{OC} \cdot \frac{OQ}{1} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot ( \frac{BO}{OC} + 1) \cdot \frac{OQ}{1} = 1$

メネラウスの定理を使ってBO:OQを求めます。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BO} \cdot \frac{OR}{RA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{BO} \cdot \frac{OR}{1} = 1$

線分CRと線分AQの交点がOなので、メネラウスの定理を適用します。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO + OC}{CO} \cdot \frac{OQ}{1} = 1$

$2(BO/OC + 1) \cdot OQ = 1$

メネラウスの定理を三角形ABQと直線RCに適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{CO} \cdot \frac{OQ}{1} = 1$

メネラウスの定理より

$\frac{AQ}{QC} \times \frac{CB}{BO} \times \frac{OR}{RA} = 1$

$\frac{1}{2} \times \frac{BO+OC}{BO} \times \frac{OR}{2} = 1$

メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BC}{CO} \times \frac{OQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \times \frac{CO+OB}{CO} \times \frac{OQ}{1} = 1$

$BO:OQ = 6:1$

$\frac{BC}{BO} = \frac{BO+OC}{BO}$

$\frac{BO+OC}{BO} \cdot OQ = \frac{1}{2}$

$\frac{BC}{BO} =3$

$\frac{OC}{OQ}= 5$

$BO:OQ = \frac{2}{3}$

$\frac{3}{4}\times4$

$\frac{BO}{OQ} = 6$

3. 最終的な答え

BO:OQ = 6:1