三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを2:1に内分し、点Rが辺ABを1:2に内分するとき、線分COとORの比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを2:1に内分し、点Rが辺ABを1:2に内分するとき、線分COとORの比を求める。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理またはチェバの定理、あるいはベクトルを利用して解くことができます。ここではベクトルを利用して解きます。

$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とします。

点Rは辺ABを1:2に内分するので、$\vec{OR} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

点Qは辺ACを2:1に内分するので、$\vec{OQ} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}$

線分COと線分RQの交点をPとします。

点Pは線分CO上にあるので、実数kを用いて$\vec{OP} = k\vec{OC} = k\vec{c}$と表せます。

点Pは線分RQ上にあるので、実数lを用いて$\vec{OP} = (1-l)\vec{OR} + l\vec{OQ}$と表せます。

$\vec{OP} = (1-l)\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} + l\frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3} = \frac{2-2l+l}{3}\vec{a} + \frac{1-l}{3}\vec{b} + \frac{2l}{3}\vec{c} = \frac{2-l}{3}\vec{a} + \frac{1-l}{3}\vec{b} + \frac{2l}{3}\vec{c}$

よって、

$\vec{OP} = \frac{2-l}{3}\vec{a} + \frac{1-l}{3}\vec{b} + \frac{2l}{3}\vec{c} = k\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{2-l}{3} = 0$

$\frac{1-l}{3} = 0$

$\frac{2l}{3} = k$

$\frac{2-l}{3} = 0$より、$l = 2$

$\frac{1-l}{3} = 0$より、$l = 1$

2つの式から $l$ が矛盾するので、点Pは線分COとRQの交点ではありません。問題文をよく読むと、求めるべきはCO:ORとのことなので、点Pではなく点Oからの線分COと線分ORの比率を求めます。

$\vec{OR} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

$\vec{OC} = \vec{c}$

線分COと線分ORの比は、そのままでは求められません。問題文をよく読むと、求めるべきは線分COを延長したものと線分ABの交点をSとしたときのCO:OSを求めるということでもありません。線分COとORの比を求めるということなので、ベクトルで表された線分を利用します。

点Oは原点と考えることができます。

$\vec{CO} = -\vec{c}$

$\vec{OR} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

このことから、CO:ORの比を求めることはできません。

問題文をもう一度確認し、図を参考にすると、求めるべきは線分COを延長した線と線分ABの交点をSとしたときに、線分COと線分ORの比を求めるということではなく、線分COと線分ORの長さの比を求めるということだと解釈できます。

ここで図を見ると、線分AOを2:1に内分する点をQ, 線分BOを1:2に内分する点をRとしたとき、線分ORを延長した線と線分ABは交わらないので、図が間違っていると考えられます。

ただ、問題文がCO:ORとなっているので、CO:ORをそのまま計算します。

$\vec{CO} = -\vec{OC} = -\vec{c}$

$CO = |\vec{CO}| = |\vec{c}|$

$\vec{OR} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

$OR = |\vec{OR}| = |\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}| = \frac{1}{3}|2\vec{a} + \vec{b}|$

CO:OR = $|\vec{c}|: \frac{1}{3}|2\vec{a} + \vec{b}| = 3|\vec{c}|:|2\vec{a} + \vec{b}|$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$が与えられていないので、これ以上計算できません。

他に条件がないか探します。

点QがACを2:1に内分、点RがABを1:2に内分という条件があるので、A(0,0), B(3,0), C(0,3)とおくと、Q(0,2), R(1,0)となるので、Oは三角形ABCの重心ではないということが分かります。

問題文にはこれ以上の情報がないため、これ以上の計算はできません。

問題文に誤りがあるか、図が間違っている可能性があります。

ただ、問題の形式からして、整数比で表されることが予想されるので、問題文に書かれていない条件があると仮定します。

線分COが線分ABと交わらないことから、点Oは線分ABの下側にあると考えられます。

また、線分COを延長した線と線分ABの交点をSとすると、CS:SOの比が整数比になることは考えにくいです。

もし、点Oが三角形ABCの重心であるならば、線分AR, BQ, CPは一点で交わることになり、その交点が点Oとなります。

その場合、点Oは三角形ABCの重心となるので、AO:OR = 2:1, BO:OQ = 2:1, CO:OP = 2:1となります。

しかし、問題文ではCO:ORを求めるように指示されています。

これは問題文のミスである可能性が高いです。

3. 最終的な答え

問題文の条件だけでは、CO:ORの比を一意に定めることはできません。問題文に誤りがあるか、図が間違っている可能性があります。したがって、現時点では解答不能です。