与えられた3つの式を計算する問題です。 (1) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ (3) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を計算する問題です。

(1) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$

(3) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2}$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})$ を計算します。

これは和と差の積の形に近いので、$(\sqrt{3}+\sqrt{6})$ をひとまとめにして計算します。

$(\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{6}))(\sqrt{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{6})) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 = 2 - (3 + 2\sqrt{18} + 6) = 2 - (9 + 2 \cdot 3\sqrt{2}) = 2 - 9 - 6\sqrt{2} = -7 - 6\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ を計算します。

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} - \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} - \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2-1} - \frac{\sqrt{6}-2}{3-2} - \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \sqrt{6}+\sqrt{3} - (\sqrt{6}-2) - \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{6}+\sqrt{3} - \sqrt{6}+2 - (\sqrt{3}+1) = \sqrt{6}+\sqrt{3} - \sqrt{6}+2 - \sqrt{3}-1 = 1$

(3) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2}$ を計算します。

$\sqrt{x^2} = |x|$ であることに注意します。

$2 - \sqrt{3} > 0$ なので、$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$ です。

$3 - 2\sqrt{3} = 3 - \sqrt{12} < 0$ なので、$\sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} = |3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3$ です。

よって、$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $-7 - 6\sqrt{2}$

(2) $1$

(3) $\sqrt{3} - 1$