$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^3y + xy^3$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^3y + xy^3$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

次に、$x+y$と$xy$を計算します。

$x + y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{1}{5 - 3} = \frac{1}{2}$

次に、$x^2 + y^2$を計算します。 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ なので、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ が成り立ちます。

$x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$

最後に、$x^3y + xy^3$ を計算します。$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$ なので、

$x^3y + xy^3 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

3. 最終的な答え

$x+y = \sqrt{5}$

$xy = \frac{1}{2}$

$x^2+y^2 = 4$

$x^3y + xy^3 = 2$