$3x^2 + 2x - 5 = (ax + b)(cx + d)$ を満たす整数 $a, b, c, d$ の組を求める際、$ac = 3$ である整数 $a, c$ の組として、$a = 1, c = 3$ だけを考えれば良い理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

$3x^2 + 2x - 5 = (ax + b)(cx + d)$ を満たす整数 $a, b, c, d$ の組を求める際、$ac = 3$ である整数 $a, c$ の組として、$a = 1, c = 3$ だけを考えれば良い理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

$ac = 3$ を満たす整数の組 $(a, c)$ は、$(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$ の4つが考えられます。

しかし、$3x^2 + 2x - 5$ の $x^2$ の係数が正であるため、$a, c$ は同符号である必要があります。また、$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ であることを考慮すると、$(ax+b)$ と $(cx+d)$ の順番を入れ替えても同じなので、$(a, c) = (1, 3)$ と $(a, c) = (3, 1)$ のどちらか一方だけを考えれば十分です。同様に、$(a, c) = (-1, -3)$ と $(a, c) = (-3, -1)$ のどちらか一方だけを考えれば十分です。

もし $(a, c) = (-1, -3)$ の場合を考えた場合、$3x^2 + 2x - 5 = (-x + b)(-3x + d)$ となります。両辺に $-1$ をかけることで、

$-3x^2 - 2x + 5 = (x - b)(3x - d)$

が得られます。つまり、$a, c$ の符号を変えることは、もとの多項式の符号を変えることになります。

しかし、問題文では $3x^2 + 2x - 5 = (ax + b)(cx + d)$ となっているので、左辺の符号が変わることはありません。したがって、$a, c$ は正の整数でなければなりません。

したがって、$(a, c) = (1, 3)$ または $(a, c) = (3, 1)$ のどちらか一方だけを考えれば十分です。ここでは $(a, c) = (1, 3)$ の場合だけを考えます。 $(a, c) = (3,1)$ を考えたとしても、得られる結果は $(b,d)$ を入れ替えるだけなので、本質的には変わりません。

3. 最終的な答え

$ac = 3$ を満たす整数の組は $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$ の4つ考えられるが、多項式の係数が正であること、$(ax+b)$と$(cx+d)$の順番を入れ替えても同じであること、そして $a,c$ の符号を反転させることは多項式の符号を反転させることと同じであることから、$(a, c) = (1, 3)$ だけを考えれば良い。