放物線 $y = ax^2$ (①), 直線 $y = 4$ (②), 直線 $y = 1$ (③) がある。①と②の交点の $x$ 座標の小さい方をA, 大きい方をBとする。①と③の交点で $x$ 座標が負の点をCとする。 (1) $AB = 8$ のとき、点Bの座標と $a$ の値を求めよ。また、点Cの座標と直線BCの式を求めよ。 (2) (1) のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、②、③および線分BCと交わる点をそれぞれP, Q, Rとする。$BP:CQ = 1:2$ のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ (①), 直線 $y = 4$ (②), 直線 $y = 1$ (③) がある。①と②の交点の $x$ 座標の小さい方をA, 大きい方をBとする。①と③の交点で $x$ 座標が負の点をCとする。

(1) $AB = 8$ のとき、点Bの座標と $a$ の値を求めよ。また、点Cの座標と直線BCの式を求めよ。

(2) (1) のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、②、③および線分BCと交わる点をそれぞれP, Q, Rとする。$BP:CQ = 1:2$ のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 点A, Bは $y = ax^2$ と $y = 4$ の交点なので、$ax^2 = 4$。よって、$x^2 = 4/a$。

$x = \pm 2/\sqrt{a}$。$x$座標の小さい方がAなので、Aの$x$座標は $-2/\sqrt{a}$、Bの$x$座標は $2/\sqrt{a}$。

* $AB = 8$ より、$2/\sqrt{a} - (-2/\sqrt{a}) = 8$。つまり、$4/\sqrt{a} = 8$。$\sqrt{a} = 1/2$。よって、$a = 1/4$。

* 点Bの座標は、$x = 2/\sqrt{1/4} = 2/(1/2) = 4$ より、B(4, 4)。

* 点Cは $y = ax^2$ と $y = 1$ の交点で、$x$座標が負である。

$ax^2 = 1$ より、$x^2 = 1/a = 1/(1/4) = 4$。よって、$x = \pm 2$。$x$座標が負なので、$x = -2$。C(-2, 1)。

* 直線BCの式を $y = mx + n$ とおく。B(4, 4), C(-2, 1) を通るので、$4 = 4m + n$ と $1 = -2m + n$。この連立方程式を解くと、$3 = 6m$ より $m = 1/2$。$n = 1 + 2m = 1 + 2(1/2) = 2$。よって、直線BCの式は $y = (1/2)x + 2$。

(2)

* Pは直線 $y=4$ 上の点, Qは直線 $y=1$ 上の点

* BC: $y = (1/2)x + 2$

* 直線④: $y = kx$ ($k$は傾き)

* Pは $y = 4$ と $y = kx$ の交点なので、$4 = kx$、$x = 4/k$。P(4/k, 4)。

* Qは $y = 1$ と $y = kx$ の交点なので、$1 = kx$、$x = 1/k$。Q(1/k, 1)。

* $BP:CQ = 1:2$ より、$BP = \sqrt{(4 - 4/k)^2 + (4 - 4)^2} = |4 - 4/k|$、

$CQ = \sqrt{(-2 - 1/k)^2 + (1 - 1)^2} = |-2 - 1/k|$。

$BP:CQ = 1:2$ より、$2|4 - 4/k| = |-2 - 1/k|$。

$8|1 - 1/k| = |2 + 1/k|$。

ここで、$k > 0$なので、$k$の値の範囲で場合分けをする。

(i) $1/k > 1$ つまり $0 < k < 1$ のとき、$8(1/k - 1) = 2 + 1/k$。$8/k - 8 = 2 + 1/k$。$7/k = 10$。$k = 7/10$。これは $0 < k < 1$ を満たす。

(ii) $1/k \le 1$ つまり $k \ge 1$ のとき、$8(1 - 1/k) = 2 + 1/k$。$8 - 8/k = 2 + 1/k$。$6 = 9/k$。$k = 3/2$。これは $k \ge 1$ を満たす。

場合分け(i), (ii)で$k$の値が2つ求められたが、図より$k$は1より大きいので、$k = 3/2$

* 直線④は $y = (3/2)x$

* Rは直線BC ($y = (1/2)x + 2$) と直線④ ($y = (3/2)x$) の交点なので、$(1/2)x + 2 = (3/2)x$。$2 = x$。$y = (3/2) * 2 = 3$。よって、R(2, 3)。

* P(4/k, 4) = (4/(3/2), 4) = (8/3, 4)

* 三角形BPRの面積を求める。B(4, 4), P(8/3, 4), R(2, 3)。

底辺BPの長さは $|4 - 8/3| = |12/3 - 8/3| = 4/3$。高さは $4 - 3 = 1$。

面積 = $(1/2) * (4/3) * 1 = 2/3$。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: (4, 4), $a = 1/4$

点Cの座標: (-2, 1)

直線BCの式: $y = (1/2)x + 2$

(2) 点Rの座標: (2, 3)

三角形BPRの面積: $2/3$