$x = u + v$, $y = uv$ を満たす実数 $u, v$ がすべての実数値を取るとき、$x, y$ の満たすべき条件を求める。

1. 問題の内容

$x = u + v$, $y = uv$ を満たす実数 $u, v$ がすべての実数値を取るとき、$x, y$ の満たすべき条件を求める。

2. 解き方の手順

$u, v$ は $t$ に関する二次方程式 $t^2 - xt + y = 0$ の2つの実数解である。

二次方程式 $at^2 + bt + c = 0$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac \ge 0$ である。

この問題の場合、$a=1$, $b=-x$, $c=y$ なので、判別式は $D = (-x)^2 - 4(1)(y) = x^2 - 4y$ となる。

$u, v$ が実数解を持つためには、$D \ge 0$ である必要がある。

したがって、$x^2 - 4y \ge 0$ である。

3. 最終的な答え

$x^2 - 4y \ge 0$