与えられた4x4行列Bの行列式を計算し、正則性を調べる問題です。 行列Bは次の通りです。 $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Bの行列式を計算し、正則性を調べる問題です。

行列Bは次の通りです。

$B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式の計算は、行または列に関する余因子展開を使用することで実行できます。計算を簡素化するために、できるだけ多くのゼロを含む行または列を選択することが望ましいです。

今回は、1行目を使って余因子展開を行うことにします。

行列Bの行列式は次のように計算できます。

$det(B) = 3 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は行列Bの(i, j)要素の余因子です。余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$として計算されます。$M_{ij}$は、i行目とj列目を取り除いた小行列の行列式です。

$M_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0(1\cdot(-1) - 2\cdot(-2)) - 1(1\cdot(-1) - 2\cdot3) + 3(1\cdot(-2) - 1\cdot3) = 0 - 1(-1-6) + 3(-2-3) = 7 - 15 = -8$

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (-1)^2 (-8) = -8$

$M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -4 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1\cdot(-1) - 2\cdot(-2)) - 1(-4\cdot(-1) - 2\cdot1) + 3(-4\cdot(-2) - 1\cdot1) = 1(-1+4) - 1(4-2) + 3(8-1) = 3 - 2 + 21 = 22$

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)^3 (22) = -22$

$M_{14} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 1(1\cdot(-2) - 1\cdot3) - 0 + 1(-4\cdot3 - 1\cdot1) = 1(-2 - 3) + (-12 - 1) = -5 - 13 = -18$

$C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = (-1)^5 (-18) = 18$

したがって、行列式の値は次のようになります。

$det(B) = 3 \cdot (-8) + 2 \cdot (-22) + 0 + 1 \cdot (18) = -24 - 44 + 18 = -50$

行列式がゼロでないため、行列Bは正則です。

3. 最終的な答え

行列式の値：-50

行列Bは正則である。