式 $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$ を展開し、整理せよ。

## 問題9の解答

1. 問題の内容

式 $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b-c)(ab-bc-ca)$ の部分を展開する。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) = a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca)$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + ca^2$

$= a^2b - 3abc - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + ca^2$

次に、展開した結果に $abc$ を加える。

$a^2b - 3abc - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + ca^2 + abc = a^2b - 2abc + ab^2 - b^2c + bc^2$

最後に、式を整理する。

$a^2b + ab^2 + bc^2 - b^2c - 2abc$

3. 最終的な答え

$a^2b + ab^2 + bc^2 - b^2c - 2abc$

## 問題10の解答

1. 問題の内容

式 $x^3 + 8$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^3 + 8$ は $x^3 + 2^3$ と表せるので、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用する。ここで、$a=x, b=2$ とすると、

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

3. 最終的な答え

$(x+2)(x^2 - 2x + 4)$