不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10}(\frac{1}{2})^n < \log_{10}0.01$

対数の性質 $\log_a(x^r) = r\log_a(x)$ を用いると、

$n\log_{10}(\frac{1}{2}) < \log_{10}(10^{-2})$

$n(\log_{10}1 - \log_{10}2) < -2$

$\log_{10}1 = 0$ なので、

$n(0 - \log_{10}2) < -2$

$-n\log_{10}2 < -2$

両辺に $-1$ を掛けると、不等号の向きが変わります。

$n\log_{10}2 > 2$

与えられた $\log_{10}2 = 0.3010$ を代入すると、

$n(0.3010) > 2$

両辺を $0.3010$ で割ると、

$n > \frac{2}{0.3010} = \frac{2000}{301} \approx 6.6445$

$n$ は整数なので、$n$ が満たす最小の整数は $7$ となります。

3. 最終的な答え

7