ある商品の売り値を $x\%$ 値下げしたところ、売り上げ個数が $\frac{2x}{3}\%$ 増え、売り上げ金額が $\frac{x}{10}\%$ 増えた。このとき、$x$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

ある商品の売り値を $x\%$ 値下げしたところ、売り上げ個数が $\frac{2x}{3}\%$ 増え、売り上げ金額が $\frac{x}{10}\%$ 増えた。このとき、$x$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、元の売り値を $a$ 、元の売り上げ個数を $b$ とします。

値下げ後の売り値は $a(1 - \frac{x}{100})$ 、売り上げ個数は $b(1 + \frac{2x}{300})$ になります。

したがって、値下げ後の売り上げ金額は $a(1 - \frac{x}{100}) \times b(1 + \frac{2x}{300})$ です。

問題文より、値下げ後の売り上げ金額は元の売り上げ金額 $ab$ の $(1 + \frac{x}{1000})$ 倍になるので、以下の等式が成り立ちます。

$a(1 - \frac{x}{100}) \times b(1 + \frac{2x}{300}) = ab(1 + \frac{x}{1000})$

両辺を $ab$ で割ると、

$(1 - \frac{x}{100})(1 + \frac{2x}{300}) = 1 + \frac{x}{1000}$

展開して整理すると、

$1 + \frac{2x}{300} - \frac{x}{100} - \frac{2x^2}{30000} = 1 + \frac{x}{1000}$

$\frac{2x}{300} - \frac{x}{100} - \frac{x}{1000} - \frac{2x^2}{30000} = 0$

$x(\frac{2}{300} - \frac{1}{100} - \frac{1}{1000} - \frac{2x}{30000}) = 0$

$x(\frac{20 - 30 - 3}{3000} - \frac{2x}{30000}) = 0$

$x(\frac{-13}{3000} - \frac{2x}{30000}) = 0$

$x(-\frac{130 + 2x}{30000}) = 0$

$x(\frac{130 + 2x}{30000}) = 0$

したがって、$x=0$ または $130+2x=0$ となります。$x=0$ は問題に合わないので、$130+2x = 0$ を解きます。

$130 + 2x = 0$

$2x = -130$

$x = -65$

これは明らかに条件に合わないので、計算ミスがないか確認します。

$(1 - \frac{x}{100})(1 + \frac{2x}{300}) = 1 + \frac{x}{1000}$

$1 + \frac{2x}{300} - \frac{x}{100} - \frac{2x^2}{30000} = 1 + \frac{x}{1000}$

$\frac{2x}{300} - \frac{x}{100} - \frac{x}{1000} - \frac{2x^2}{30000} = 0$

$\frac{20x}{3000} - \frac{30x}{3000} - \frac{3x}{3000} - \frac{2x^2}{30000} = 0$

$\frac{-13x}{3000} = \frac{2x^2}{30000}$

$-13x = \frac{2x^2}{10}$

$-130x = 2x^2$

$2x^2 + 130x = 0$

$2x(x + 65) = 0$

したがって、$x=0$ または $x=-65$

問題文より、$x>0$ なので、再度計算を確認します。売り上げ個数の増加が $\frac{2x}{3} \%$ なので、式を修正する必要があります。

$(1 - \frac{x}{100})(1 + \frac{2x}{300}) = 1 + \frac{x}{1000}$

両辺に30000をかけると、

$30000(1 - \frac{x}{100})(1 + \frac{2x}{300}) = 30000(1 + \frac{x}{1000})$

$30000(1 - \frac{x}{100} + \frac{2x}{300} - \frac{2x^2}{30000}) = 30000 + 30x$

$30000 - 300x + 200x - 2x^2 = 30000 + 30x$

$-300x + 200x - 30x - 2x^2 = 0$

$-130x - 2x^2 = 0$

$2x^2 + 130x = 0$

$2x(x+65)=0$

$x = 0, -65$

やはり上記と同じ結果になるため、問題文の理解が間違っている可能性があります。

売り上げ個数が $\frac{2x}{3}\%$ 増えるので、$\frac{2x}{3}$を全体のパーセントと考えてみます。

$(1-\frac{x}{100})(1+\frac{2x}{3})=1+\frac{x}{10}$

$1 + \frac{2x}{3} - \frac{x}{100} - \frac{2x^2}{300} = 1 + \frac{x}{10}$

$\frac{2x}{3} - \frac{x}{100} - \frac{2x^2}{300} = \frac{x}{10}$

$200x - 3x - 2x^2 = 30x$

$167x - 2x^2 = 30x$

$2x^2 -137x=0$

$x(2x - 137)=0$

$x=0, \frac{137}{2}$

$x$の値は正である必要があるので、$x=137/2=68.5$

3. 最終的な答え

6

8. 5