3次方程式 $x^3 - 12x + 5 - a = 0$ が、異なる2つの正の解と1つの負の解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 12x + 5 - a = 0$ が、異なる2つの正の解と1つの負の解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - 12x + 5$ とおきます。与えられた方程式は、$f(x) = a$ と書き換えられます。

この方程式が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つということは、関数 $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=a$ が、x>0 の範囲で2回交わり、x<0 の範囲で1回交わるということです。

次に、$f(x)$ の増減を調べます。

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2, 2$ のときです。

増減表を書くと次のようになります。

| x | ... | -2 | ... | 2 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| f'(x)| + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21$

$f(2) = (2)^3 - 12(2) + 5 = 8 - 24 + 5 = -11$

$f(0) = 5$

$f(x)$ のグラフを考えると、$y=a$ が $x>0$ で2回、$x<0$ で1回交わるためには、極小値より大きく、かつ $f(0)$ より小さくなければならない、つまり $-11 < a < 5$ である必要があります。

3. 最終的な答え

-11 < a < 21