与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表す問題です。問題は二つあります。 (1) $x + 2y + 3z = 3$ $x + 3y + 4z = 4$ $2x + 4y + 7z = 6$ (2) $x - z = 1$ $2x + y = 3$ $3x + 2y + z = 5$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、解を列ベクトルで表す問題です。問題は二つあります。

(1)

$x + 2y + 3z = 3$

$x + 3y + 4z = 4$

$2x + 4y + 7z = 6$

(2)

$x - z = 1$

$2x + y = 3$

$3x + 2y + z = 5$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

1 & 3 & 4 & 4 \\

2 & 4 & 7 & 6

\end{pmatrix}$

1行目を基準に、2行目から1行目を引きます。また、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

2行目を基準に、1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

3行目を基準に、1行目と2行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

よって、$x = 1$, $y = 1$, $z = 0$

(2)

与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

2 & 1 & 0 & 3 \\

3 & 2 & 1 & 5

\end{pmatrix}$

1行目を基準に、2行目から1行目の2倍を引きます。また、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}$

2行目を基準に、3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

$x - z = 1$ より、$x = z + 1$

$y + 2z = 1$ より、$y = -2z + 1$

$z = t$とすると、$x = t + 1$, $y = -2t + 1$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t + 1 \\ -2t + 1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (tは任意の実数)