$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$ (4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\sqrt{5})^2 - 2 = 5 - 2 = 3$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$x - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) = \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}$

または

$x^2 - \frac{1}{x^2} = \sqrt{(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 4} = \sqrt{3^2 - 4} = \sqrt{5}$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = (\sqrt{5})^3 - 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(3) $x^2 - \frac{1}{x^2} = \sqrt{5}$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5}$