12%の食塩水が300gある。この食塩水から$3x$gを取り出し、同じ重さの水を加える。次に、$4x$gの食塩水を取り出し、同じ重さの水を加えたところ、食塩水の濃度が2%になった。$x$の値を求めよ。

## 問題3

1. 問題の内容

12%の食塩水が300gある。この食塩水から$3x$gを取り出し、同じ重さの水を加える。次に、$4x$gの食塩水を取り出し、同じ重さの水を加えたところ、食塩水の濃度が2%になった。$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、最初の操作後の食塩水の状態を考える。

* 12%の食塩水300gに含まれる食塩の量は、$300 \times 0.12 = 36$g。

* $3x$gの食塩水を取り出すとき、取り出す食塩の量は、$3x \times 0.12 = 0.36x$g。

* 最初の操作後、食塩水は300gのままで、食塩の量は、$36 - 0.36x$gとなる。

* 次に、2回目の操作後の食塩水の状態を考える。

* 最初の操作後の食塩水の濃度は、$\frac{36 - 0.36x}{300}$。

* 2回目の操作で取り出す食塩の量は、$4x \times \frac{36 - 0.36x}{300} = \frac{144x - 1.44x^2}{300}$g。

* 2回目の操作後、食塩水は300gのままで、食塩の量は、$36 - 0.36x - \frac{144x - 1.44x^2}{300}$gとなる。

* この食塩水の濃度が2%なので、$36 - 0.36x - \frac{144x - 1.44x^2}{300} = 300 \times 0.02 = 6$。

* 上記の式を整理して、$x$を求める。

$36 - 0.36x - \frac{144x - 1.44x^2}{300} = 6$

$30 - 0.36x - \frac{144x - 1.44x^2}{300} = 0$

$9000 - 108x - 144x + 1.44x^2 = 0$

$1.44x^2 - 252x + 9000 = 0$

$144x^2 - 25200x + 900000 = 0$

$x^2 - 175x + 6250 = 0$

* 2次方程式の解の公式を用いて$x$を求める。

$x = \frac{-(-175) \pm \sqrt{(-175)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6250}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{175 \pm \sqrt{30625 - 25000}}{2}$

$x = \frac{175 \pm \sqrt{5625}}{2}$

$x = \frac{175 \pm 75}{2}$

$x = \frac{175 + 75}{2} = 125$　または、$x = \frac{175 - 75}{2} = 50$

$3x$と$4x$はそれぞれ300以下である必要があるので、$x$は100以下でなければならない。

したがって、$x = 50$

3. 最終的な答え

$x = 50$