二次関数の頂点が点 $(1, 2)$ で、点 $(2, 4)$ を通る時、その二次関数を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数の頂点が点 $(1, 2)$ で、点 $(2, 4)$ を通る時、その二次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

頂点が $(1, 2)$ であることから、二次関数は

$y = a(x - 1)^2 + 2$

と表せる。ここで $a$ は定数である。

この二次関数が点 $(2, 4)$ を通るので、$x = 2$, $y = 4$ を代入すると、

$4 = a(2 - 1)^2 + 2$

$4 = a(1)^2 + 2$

$4 = a + 2$

$a = 2$

したがって、求める二次関数は

$y = 2(x - 1)^2 + 2$

これを展開して整理すると、

$y = 2(x^2 - 2x + 1) + 2$

$y = 2x^2 - 4x + 2 + 2$

$y = 2x^2 - 4x + 4$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 4$