連立一次方程式を掃き出し法で解き、解を列ベクトルで表す問題です。2つの連立方程式があります。 (1) $x+2y+3z = 3$ $x+3y+4z = 4$ $2x+4y+7z = 6$ (2) $x-z=1$ $2x+y=3$ $3x+2y+z=5$

1. 問題の内容

連立一次方程式を掃き出し法で解き、解を列ベクトルで表す問題です。2つの連立方程式があります。

(1)

$x+2y+3z = 3$

$x+3y+4z = 4$

$2x+4y+7z = 6$

(2)

$x-z=1$

$2x+y=3$

$3x+2y+z=5$

2. 解き方の手順

(1)

係数行列と定数項ベクトルを行列で表し、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

1 & 3 & 4 & 4 \\

2 & 4 & 7 & 6

\end{pmatrix}$

1行目を基準に2行目、3行目を掃き出します。

2行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

2 & 4 & 7 & 6

\end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 3 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

2行目を基準に1行目を掃き出します。

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

3行目を基準に1行目、2行目を掃き出します。

1行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

2行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0

\end{pmatrix}$

(2)

係数行列と定数項ベクトルを行列で表し、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

2 & 1 & 0 & 3 \\

3 & 2 & 1 & 5

\end{pmatrix}$

1行目を基準に2行目、3行目を掃き出します。

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

3 & 2 & 1 & 5

\end{pmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}$

2行目を基準に3行目を掃き出します。

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

解は $x - z = 1$ かつ $y + 2z = 1$ を満たす。

$z=t$とおくと、$x = t+1$、$y = 1-2t$となる。

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+1 \\ 1-2t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (tは任意の実数)