(1) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が $4 \pm \sqrt{5}$ であるとき、$a, b$ の値を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 - 6x + 6 = 0$ の2つの解を $a, b$ とするとき、$a^2 + ab + b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が $4 \pm \sqrt{5}$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 - 6x + 6 = 0$ の2つの解を $a, b$ とするとき、$a^2 + ab + b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

解が $4 \pm \sqrt{5}$ である2次方程式は、

$(x - (4 + \sqrt{5}))(x - (4 - \sqrt{5})) = 0$

と表せる。展開すると、

$x^2 - (4 + \sqrt{5} + 4 - \sqrt{5})x + (4 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5}) = 0$

$x^2 - 8x + (16 - 5) = 0$

$x^2 - 8x + 11 = 0$

元の2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ と比較して、

$a = -8$

$b = 11$

(2)

解と係数の関係より、

$a + b = 6$

$ab = 6$

$a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab$

$a^2 + ab + b^2 = 6^2 - 6$

$a^2 + ab + b^2 = 36 - 6$

$a^2 + ab + b^2 = 30$

3. 最終的な答え

(1) $a = -8, b = 11$

(2) $a^2 + ab + b^2 = 30$