関数 $y = \frac{2x+a}{x+b}$ のグラフが、$x$軸と点$(3,0)$で、$y$軸と点$(0,-2)$で交わるとき、定数$a$と$b$の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+a}{x+b}$ のグラフが、$x$軸と点$(3,0)$で、$y$軸と点$(0,-2)$で交わるとき、定数$a$と$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸との交点$(3,0)$を関数に代入します。

$0 = \frac{2(3) + a}{3+b}$

このとき、分母が0になってはいけないので、$3+b \neq 0$です。分子が0にならなければならないので、$2(3) + a = 0$が成り立ちます。

$6 + a = 0$

$a = -6$

次に、$y$軸との交点$(0,-2)$を関数に代入します。

$-2 = \frac{2(0) + a}{0+b}$

$-2 = \frac{a}{b}$

ここで、$a = -6$を代入すると、

$-2 = \frac{-6}{b}$

$-2b = -6$

$b = \frac{-6}{-2}$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 3$