不等式 $x-3 \ge \frac{2x}{x-2}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x-3 \ge \frac{2x}{x-2}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺から $\frac{2x}{x-2}$ を引きます。

$x-3 - \frac{2x}{x-2} \ge 0$

次に、左辺を通分します。

$\frac{(x-3)(x-2) - 2x}{x-2} \ge 0$

分子を展開し、整理します。

$\frac{x^2 - 5x + 6 - 2x}{x-2} \ge 0$

$\frac{x^2 - 7x + 6}{x-2} \ge 0$

分子を因数分解します。

$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} \ge 0$

この不等式が成り立つのは、以下のいずれかの条件を満たすときです。

1. $(x-1)(x-6) \ge 0$ かつ $x-2 > 0$

2. $(x-1)(x-6) \le 0$ かつ $x-2 < 0$

条件1:

$(x-1)(x-6) \ge 0$ より、$x \le 1$ または $x \ge 6$。

$x-2 > 0$ より、$x > 2$。

したがって、$x \ge 6$。

条件2:

$(x-1)(x-6) \le 0$ より、$1 \le x \le 6$。

$x-2 < 0$ より、$x < 2$。

したがって、$1 \le x < 2$。

以上の2つの条件を合わせると、解は $1 \le x < 2$ または $x \ge 6$ となります。

3. 最終的な答え

$1 \le x < 2$ または $x \ge 6$