2つの二次方程式 $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ と $x^2 + 2ax + 2a = 0$ がともに実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ と $x^2 + 2ax + 2a = 0$ がともに実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

(1) $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ について

判別式 $D_1$ は、

$D_1 = (a+1)^2 - 4(1)(a^2) = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1$

$D_1 \geq 0$ より、 $-3a^2 + 2a + 1 \geq 0$

両辺に $-1$ をかけて、 $3a^2 - 2a - 1 \leq 0$

$(3a+1)(a-1) \leq 0$

したがって、 $-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$

(2) $x^2 + 2ax + 2a = 0$ について

判別式 $D_2$ は、

$D_2 = (2a)^2 - 4(1)(2a) = 4a^2 - 8a$

$D_2 \geq 0$ より、$4a^2 - 8a \geq 0$

$4a(a-2) \geq 0$

$a(a-2) \geq 0$

したがって、$a \leq 0$ または $a \geq 2$

(3) (1)と(2)の結果を合わせて考える。

$-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$ かつ ($a \leq 0$ または $a \geq 2$) を満たす $a$ の範囲を求める。

数直線で考えると、$-\frac{1}{3} \leq a \leq 0$ となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \leq a \leq 0$