$y=2x^2$ と $y=ax+b$ は、$-2 \leq x \leq 3$ のとき、yの変域が同じである。このとき、$a$と$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$y=2x^2$ と $y=ax+b$ は、$-2 \leq x \leq 3$ のとき、yの変域が同じである。このとき、$a$と$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=2x^2$の$-2 \leq x \leq 3$における$y$の変域を求める。

$x=0$のとき、$y=0$。

$x=-2$のとき、$y=2(-2)^2 = 8$。

$x=3$のとき、$y=2(3)^2 = 18$。

したがって、$y=2x^2$の変域は、$0 \leq y \leq 18$となる。

次に、$y=ax+b$の$-2 \leq x \leq 3$における$y$の変域が$0 \leq y \leq 18$となるように、$a$と$b$の値を求める。

$y=ax+b$は直線であるから、$-2 \leq x \leq 3$において、$x=-2$または$x=3$で$y=0$または$y=18$となる必要がある。

また、$y=ax+b$の$a$は負である。なぜなら、$x$が増加すると$y$は減少するからである。

$y=ax+b$は、$0 \leq y \leq 18$の変域を持つので、

$x=-2$のときに$y=18$、$x=3$のときに$y=0$となる。

よって、

$-2a+b=18$

$3a+b=0$

これらの式から連立方程式を解く。

$3a+b=0$より、$b=-3a$

$-2a+b=18$に代入して、$-2a-3a=18$

$-5a=18$より、$a = -\frac{18}{5}$

$b=-3a$より、$b=-3(-\frac{18}{5})=\frac{54}{5}$

したがって、$a=-\frac{18}{5}$, $b=\frac{54}{5}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{18}{5}$

$b = \frac{54}{5}$