2つの容器A、Bに、濃度の異なる食塩水がそれぞれ600g、400g入っている。 まず、容器Aから容器Bへ食塩水200gを移し、よく混ぜる。次に、容器Bから容器Aへ200gを戻し、よく混ぜたところ、容器Aの食塩水は10%になった。その後、容器AとBの食塩水をすべて混ぜ合わせると、8.4%の食塩水になった。はじめに容器A、Bに入っていた食塩水の濃度をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

2つの容器A、Bに、濃度の異なる食塩水がそれぞれ600g、400g入っている。

まず、容器Aから容器Bへ食塩水200gを移し、よく混ぜる。次に、容器Bから容器Aへ200gを戻し、よく混ぜたところ、容器Aの食塩水は10%になった。その後、容器AとBの食塩水をすべて混ぜ合わせると、8.4%の食塩水になった。はじめに容器A、Bに入っていた食塩水の濃度をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 容器Aの最初の濃度を$x$ (%)、容器Bの最初の濃度を$y$ (%)とする。

(2) 容器AからBへ200g移した後のBの濃度を求める。

Bには元々400gの食塩水があり、Aから200g移されたので、合計600gになる。

Bに移された食塩の量は$200 \times \frac{x}{100} = 2x$ (g)。

Bに元々入っていた食塩の量は$400 \times \frac{y}{100} = 4y$ (g)。

したがって、Bの濃度は$\frac{2x+4y}{600} \times 100 = \frac{x+2y}{3}$ (%)となる。

(3) BからAへ200g戻した後のAの濃度を考える。

Aには元々400gの食塩水が残っており、Bから200g戻されたので、合計600gになる。

Aに残っていた食塩の量は$400 \times \frac{x}{100} = 4x$ (g)。

BからAに戻された食塩の量は$200 \times \frac{x+2y}{300} = \frac{2(x+2y)}{3}$ (g)。

したがって、Aの濃度は$\frac{4x + \frac{2(x+2y)}{3}}{600} \times 100 = \frac{14x+4y}{18}$ (%)となる。

問題文より、この濃度が10%なので、

$\frac{14x+4y}{18} = 10$

$14x+4y=180$

$7x+2y=90$ ... (1)

(4) 混ぜ合わせた後の濃度を考える。

Aには600g、Bには400gの食塩水があり、混ぜ合わせると1000gになる。

混ぜ合わせた後の食塩の量は$600 \times \frac{10}{100} + 400 \times \frac{x+2y}{300} = 60 + \frac{4(x+2y)}{3}$ (g)。

混ぜ合わせた後の濃度は$\frac{60 + \frac{4(x+2y)}{3}}{1000} \times 100 = 8.4$ (%)。

$60 + \frac{4(x+2y)}{3} = 84$

$\frac{4(x+2y)}{3} = 24$

$4(x+2y) = 72$

$x+2y = 18$ ... (2)

(5) (1)と(2)の連立方程式を解く。

$7x+2y=90$ ... (1)

$x+2y=18$ ... (2)

(1)-(2)より、

$6x = 72$

$x = 12$

(2)に代入して、

$12+2y=18$

$2y=6$

$y=3$

3. 最終的な答え

容器Aの最初の濃度は12%、容器Bの最初の濃度は3%。