与えられた2つの連立方程式について、以下の問いに答えます。 (1) 連立方程式 $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + by = 4 \end{cases}$ の解を求めます。 (2) 連立方程式 $\begin{cases} 2x + ay = 1 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$ の解が、(1)の連立方程式の解と同じであるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの連立方程式について、以下の問いに答えます。

(1) 連立方程式 $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + by = 4 \end{cases}$ の解を求めます。

(2) 連立方程式 $\begin{cases} 2x + ay = 1 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$ の解が、(1)の連立方程式の解と同じであるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、連立方程式 $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + by = 4 \end{cases}$ から $b$ がない $x - 2y = 5$ だけに着目して、この連立方程式を解くために必要なもう1つの式を探します。しかし、ここでは $b$ の値が不明なので、(2)の連立方程式の解を求めることにします。

(2)の連立方程式 $\begin{cases} 2x + ay = 1 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$ を解きます。2式から $y$ を消去します。

2番目の式を $-a$ 倍すると、

$-5ax - ay = -3a$

1番目の式と足すと、

$2x - 5ax = 1 - 3a$

$(2 - 5a)x = 1 - 3a$

これで $x$ が求まったので、次に $y$ を求めます。

2番目の式から $y = 3 - 5x$

次に(1)の連立方程式 $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + by = 4 \end{cases}$ を解きます。

まず、1番目の式 $x - 2y = 5$ を $x = 5 + 2y$ と変形します。これを2番目の式に代入します。

$3(5 + 2y) + by = 4$

$15 + 6y + by = 4$

$(6 + b)y = -11$

ここで (2) の連立方程式の解が (1) の連立方程式の解と同じであるという条件を使うため、(1)の連立方程式から $y$ を消去した結果と、(2)の連立方程式から $y$ を消去した結果が一致すると仮定します。しかし、問題文からそのような情報だけでは $x$ と $y$ の具体的な値を求められません。

そこで、与えられた連立方程式 $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + by = 4 \end{cases}$ は、$b$ の値が定まれば $x$ と $y$ が決まる連立方程式です。

最初の連立方程式 $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$ を解くことにします。

1番目の式から $x = 2y + 5$

これを2番目の式に代入して、$5(2y + 5) + y = 3$

$10y + 25 + y = 3$

$11y = -22$

$y = -2$

$x = 2(-2) + 5 = 1$

よって、連立方程式の解は $(x, y) = (1, -2)$

(2) $\begin{cases} 2x + ay = 1 \\ 3x + by = 4 \end{cases}$ に $(x, y) = (1, -2)$ を代入します。

$2(1) + a(-2) = 1$ より $2 - 2a = 1$

$-2a = -1$

$a = \frac{1}{2}$

$3(1) + b(-2) = 4$ より $3 - 2b = 4$

$-2b = 1$

$b = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (1, -2)$

(2) $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{2}$