xy平面上に2点A(3, 2), B(8, 9)がある。点Pが直線 $l: y = x - 3$ 上を動くとき、AP + PB の最小値と、そのときの点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に2点A(3, 2), B(8, 9)がある。点Pが直線 $l: y = x - 3$ 上を動くとき、AP + PB の最小値と、そのときの点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの直線 $l$ に関する対称点をA'(a, b)とする。

(2) AA'と $l$ が垂直であるから、AA'の傾きは-1。よって、

$\frac{b-2}{a-3} = -1$

これから、$a + b = 5$ ...(1)

(3) AA'の中点は直線 $l$ 上にある。中点の座標は $(\frac{3+a}{2}, \frac{2+b}{2})$。

これが $y = x - 3$ 上にあるから、

$\frac{2+b}{2} = \frac{3+a}{2} - 3$

これから、$a - b = 5$ ...(2)

(4) (1)と(2)を解くと、$a = 5$, $b = 0$。よって、A'(5, 0)。

(5) AP + PB = A'P + PB >= A'B 。等号成立は、3点A', P, Bが一直線上にあるとき。

よって、AP + PB は最小になり、その最小値は、

$A'B = \sqrt{(8-5)^2 + (9-0)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$。

(6) 直線A'Bの方程式を求める。傾きは$\frac{9-0}{8-5} = \frac{9}{3} = 3$。

y切片は y = 3x + c にA'(5, 0)を代入して、0 = 3*5 + c より、 c = -15。

よって、直線A'Bの方程式は、$y = 3x - 15$ ...(3)

(7) 直線(3)と $l: y = x - 3$ を連立して解く。

$3x - 15 = x - 3$

$2x = 12$

$x = 6$

$y = 6 - 3 = 3$

3. 最終的な答え

AP + PB の最小値は $3\sqrt{10}$ であり、そのときの点Pの座標は (6, 3) である。