図において、線分QBは$\angle B$の二等分線、線分QCは$\angle ACD$の二等分線である。$\angle A = \alpha$、$\angle Q = x$とするとき、$x$を$\alpha$を用いて表せ。

1. 問題の内容

図において、線分QBは$\angle B$の二等分線、線分QCは$\angle ACD$の二等分線である。$\angle A = \alpha$、$\angle Q = x$とするとき、$x$を$\alpha$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACD$は$\triangle ABC$の外角であるため、$\angle ACD = \angle A + \angle B$が成り立つ。

また、QCは$\angle ACD$の二等分線であるから、$\angle QCD = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = \frac{1}{2}(\alpha + \angle B)$となる。

同様に、QBは$\angle B$の二等分線であるから、$\angle QBC = \frac{1}{2} \angle B$となる。

次に、$\triangle QBC$について考えると、外角の関係から、$\angle QCD = \angle QBC + \angle Q$が成り立つ。

したがって、$\frac{1}{2}(\alpha + \angle B) = \frac{1}{2} \angle B + x$となる。

この式を変形すると、$\frac{1}{2} \alpha + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle B + x$となり、$x = \frac{1}{2} \alpha$が得られる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}\alpha$