放物線 $y = x^2 - 2x + a^2 - 2a - 2$ について、以下の2つの問題に答えます。 (1) 放物線の頂点がx軸上にあるとき、$a$の値を求めます。 (2) 放物線が第1象限、第2象限、第4象限をすべて通り、第3象限を通らないような$a$の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + a^2 - 2a - 2$ について、以下の2つの問題に答えます。

(1) 放物線の頂点がx軸上にあるとき、$a$の値を求めます。

(2) 放物線が第1象限、第2象限、第4象限をすべて通り、第3象限を通らないような$a$の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線の式を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + a^2 - 2a - 2 = (x-1)^2 - 1 + a^2 - 2a - 2 = (x-1)^2 + a^2 - 2a - 3$

頂点の座標は $(1, a^2 - 2a - 3)$ です。

頂点がx軸上にあるとき、$y$座標は0なので、

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

$a = 3, -1$

(2)

放物線が第1象限、第2象限、第4象限を通り、第3象限を通らないための条件は、以下のようになります。

- $y$切片が0以上であること

- 頂点の$x$座標が正であること（すでに満たされている）

- $x$軸との交点が少なくとも一つあり、そのうち大きいほうの交点が正であること。

$y$切片は、$x=0$を代入したときの$y$の値なので、$a^2 - 2a - 2$ となります。

$a^2 - 2a - 2 \ge 0$

$a^2 - 2a - 2 = 0$ を解くと $a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$a \le 1 - \sqrt{3}$ または $a \ge 1 + \sqrt{3}$

次に、$y = 0$ となる$x$の値を求めます。

$x^2 - 2x + a^2 - 2a - 2 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(a^2 - 2a - 2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 - (a^2 - 2a - 2)} = 1 \pm \sqrt{-a^2 + 2a + 3}$

実数解を持つためには、$-a^2 + 2a + 3 \ge 0$ が必要です。

$a^2 - 2a - 3 \le 0$

$(a-3)(a+1) \le 0$

$-1 \le a \le 3$

$1 + \sqrt{-a^2 + 2a + 3} > 0$ でなければなりません。これは常に成り立ちます。

以上より、$a \le 1 - \sqrt{3}$ または $a \ge 1 + \sqrt{3}$ と $-1 \le a \le 3$ を満たす必要があります。

したがって、$-1 \le a \le 1-\sqrt{3}$ または $1+\sqrt{3} \le a \le 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3, -1$

(2) $-1 \le a \le 1-\sqrt{3}$, $1+\sqrt{3} \le a \le 3$