数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$, $a_2=1$, $a_n = a_{n-2} + a_{n-1}$ ($n=3, 4, 5, \dots$) で定義されているとき、すべての正の整数 $n$ に対して、不等式 $a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$, $a_2=1$, $a_n = a_{n-2} + a_{n-1}$ ($n=3, 4, 5, \dots$) で定義されているとき、すべての正の整数 $n$ に対して、不等式 $a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1, 2$ のとき:

$a_1 = 1 < \frac{7}{4}$ であり、$a_2 = 1 < (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ であるから、不等式は成り立つ。

(2) $n=k, k+1$ ($k \ge 1$) のとき、不等式が成り立つと仮定する。すなわち、$a_k < (\frac{7}{4})^k$ および $a_{k+1} < (\frac{7}{4})^{k+1}$ が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+2$ のとき:

$a_{k+2} = a_k + a_{k+1}$ である。

帰納法の仮定より、

$a_{k+2} < (\frac{7}{4})^k + (\frac{7}{4})^{k+1} = (\frac{7}{4})^k (1 + \frac{7}{4}) = (\frac{7}{4})^k (\frac{11}{4})$

ここで、$(\frac{7}{4})^{k+2} = (\frac{7}{4})^k (\frac{7}{4})^2 = (\frac{7}{4})^k (\frac{49}{16})$ である。

したがって、$a_{k+2} < (\frac{7}{4})^{k+2}$ を示すためには、$(\frac{7}{4})^k (\frac{11}{4}) < (\frac{7}{4})^k (\frac{49}{16})$ を示せばよい。

これは $\frac{11}{4} < \frac{49}{16}$ と同値であり、$\frac{11}{4} = \frac{44}{16} < \frac{49}{16}$ より成り立つ。

よって、$a_{k+2} < (\frac{7}{4})^{k+2}$ が成り立つ。

(1), (2), (3) より、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての正の整数 $n$ に対して、$a_n < (\frac{7}{4})^n$ が成り立つ。