$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$ 、$y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$ 、$y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$, $y^2$, $xy$をそれぞれ計算します。

$x^2 = (\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{20} + 2}{4} = \frac{12 + 2\sqrt{4 \times 5}}{4} = \frac{12 + 4\sqrt{5}}{4} = 3 + \sqrt{5}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{2})^2}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{20} + 2}{4} = \frac{12 - 2\sqrt{4 \times 5}}{4} = \frac{12 - 4\sqrt{5}}{4} = 3 - \sqrt{5}$

$xy = (\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}) = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{4} = \frac{10 - 2}{4} = \frac{8}{4} = 2$

次に、$x^2 - 3xy + y^2$を計算します。

$x^2 - 3xy + y^2 = (3 + \sqrt{5}) - 3(2) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} - 6 + 3 - \sqrt{5} = 6 - 6 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$

3. 最終的な答え

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